En esta tesis se abordan cuatro diferentes problemas de aproximación que son estudiados en un esquema variacional. Esta perspectiva conduce a soluciones para las cuales se pueden establecer sus características teóricas además de aspectos prácticos acerca de su construcción. En una primera parte se presenta un método para interpolar datos dispersos y monótonos en IRs usando una función spline variacional. Se presentan propiedades prácticas y teóricas y se entrega un algoritmo dual que permite calcular la solución resultante cuando s = 2. El método es especialmente adecuado para datos dispersos pero la comparación con métodos existentes para datos sobre mallas, muestra que éste es un esquema válido incluso en este caso. En la segunda y la tercera parte se presentan métodos para reconstruir señales unidimensionales y luego imágenes – es decir señales bidimensionales - a partir de sus singularidades, las que son detectadas e identificadas con una técnica de transformada continua de ondulaciones. La señal y la imagen reconstruida corresponden a aproximantes spline de inf - convolución. Los datos para el problema de interpolación que se resuelve, provienen de un procedimiento de codificación que compacta la señal. Se entregan cotas de error y resultados de convergencia de la señal y de la imagen calculadas. Finalmente se presenta un análisis multiresolución que utiliza splines poli - armónicas multidimensionales. Esto significa que las (pre - )ondulaciones construidas son splines poli - armónicas las que no son producto tensorial de ondulaciones unidimensionales. Se muestra el decaimiento de la función y de los filtros y se entrega la construcción explícita de los filtros, junto con las fórmulas de descomposición / recomposición, las que se obtienen por "downsampling/upsampling" y productos de convolución.